Detail předmětu

Statistika, stochastické procesy, operační výzkum

DMA1 FEKT VUT DPC-MA1 Ak. rok 2020/2021 zimní semestr

Předmět se věnuje upevnění a rozšíření znalostí studentů v oblasti teorie pravděpodobnosti, matematické statistiky a vybraných metod z teorie operačního výzkumu. Proto se začíná důkladným a korektním zavedením pravděpodobnosti, odvozením základních vlastností pravděpodobnosti. Dále je definována náhodná veličina, její číselné charakteristiky  a rozdělení.  Na tento základ potom navazuje nejdříve popisná statistika a potom problematika testování statistických hypotéz, volba vhodného testu a vysvětlení závěrů jednotlivých testů.  Z operačního výzkumu je do kurzu zařazeno lineární programování a jeho geometrické i algebraické řešení, dopravní a přiřazovací úloha a přehled o dynamickém a pravděpodobnostním programování a metodách skladových zásob. V této části jsou ilustrační příklady brány především z ekonomie. Dále předmět obsahuje úvod do teorie náhodných procesů: typy. Proto je v jeho úvodu zařazeno nejdříve opakování potřebného matematického aparátu (matice, determinanty, řešení rovnic, rozklad na parciální zlomky, pravděpodobnost). Poté je budována teorie náhodných procesů, kde se věnujeme Markovským procesům a řetězcům, a to jak diskrétním, tak i spojitým. Je provedena základní klasifikace stavů a studenti jsou seznámeni se způsoby jejich určení.Velká pozornost je věnována  jejich asymptotickým vlastnostem. V další části se zavádí ocenění přechodů mezi jednotlivými stavy a  studenti jsou seznámeni s rozhodovacími procesy a s možnostmi jejich řešení. V závěru se zmíníme o skrytých Markovských procesech a možnostech jejich řešení.

Okruhy otázek k SDZ:

  1. Náhodná veličina, distribuční funkce, číselné charakteristiky náhodných veličin.
  2. Rozložení náhodných veličin, vlastnosti normálního rozložení, zákon tří sigma.
  3. Limitní věty a důvody jejich použití v praxi.
  4. Základní soubor, náhodný výběr, jeho vlastnosti a charakteristiky.
  5. Testování statistických hypotéz, podmínky použitelnosti jednotlivých testů.
  6. Grafická a algebraická metoda řešení úloh lineárního programování, analýza citlivosti.
  7. Čím se odlišuje nelineární programování od lineárního, postup při řešení?
  8. Markovské řetězce s diskrétním a spojitým časem a práce s nimi.
  9. Modely procesů, Poissonův model, lineární model růstu a zániku.
  10. Ocenění přechodů, typy rozhodovacích procesů a způsoby jejich řešení.


Garant předmětu

Zástupce garanta předmětu

Jazyk výuky

český

Zakončení

zkouška (ústní)

Rozsah

39 hod. přednášky

Bodové hodnocení

100 zkouška

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT FEKT VUT)

Přednášející

Získané dovednosti, znalosti a kompetence z předmětu

Absolventi získají znalosti v oblasti statistického rozhodování a zpracování souborů dat využitelné v technických a ekonomických aplikacích.

Dovednosti, znalosti a kompetence obecné


Po absolvování předmětu bude student schopen: 
- Popsat pravděpodobnostní úlohu pomocí množinových operací.
- Vypočítat parametry základních rozdělení náhodných veličin a to jak spojitých, tak i diskrétních.
- Definovat základní statistické charakteristiky. Vyjmenovat základní statistické testy.
- Vybrat vhodnou metodu pro statistické zpracování zadaných dat a provést statistický test.
- Vysvětlit podstatu lineárního programování.
- Převést slovně zadanou úlohu na kanonický tvar a řešit ji vhodnou metodou.
- Provést analýzu citlivosti geometrickým i algebraickým způsobem.
- Převést zadanou úlohu na duální.
- Vysvětlit rozdíl mezi lineárním a nelineárním programováním.
- Popsat základní vlastnosti náhodných procesů.
- Vysvětlit základní Markovskou vlastnost.
- Sestavit matici Markovského řetezce.
- Vysvětlit postup výpočtu mocniny matice.
- Provést klasifikaci stavů Markovského řetezce v diskrétním i spojitém případě. 
- Provést analýzu Markovského řetezce pomocí Z-transformace v diskrétním případě a pomocí Laplaceovy transformace ve spojitém případě.
- Vysvětli postup řešení u rozhodovacích úloh.
- Popsat postup řešení při rozhodovacích úloze s alternativami. 
- Diskutovat o rozdílech mezi Markovskými řetězci a skrytými Markovskými řetězci.

Cíle předmětu

Cílem předmětu je prohloubit a  rozšířit znalosti studentů v oblasti statistického zpracování dat a statistických testů. Poskytnout studentům základní orientaci v oblasti operačního výzkumu a a naučit je používat některé optimalizační metody vhodné pro použití např. v ekonomii. Dále podat studentům ucelený přehled základních pojmů a výsledků týkajících se teorie náhodných procesů a hlavně Markovských řetězců a procesů. Jsou ukázány možnosti aplikací pro rozhodovací procesy různých typů. 

Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti

Jsou požadovány znalosti na úrovni bakalářského studia, tj. student musí ovládat práci s množinami (průnik, sjednocení, doplněk), být schopen pracovat s maticemi,  zvládat výpočet řešení systému lineárních algebraických rovnic eliminační metodou  a výpočet matice inverzní,  znát grafy elementárních funkcí a způsoby jejich konstrukce, ovládat derivování a integrování základních funkcí.

Literatura referenční

  • Zapletal, J.: Základy počtu pravděpodobnosti a matematrické statistiky. PC-DIR,VUT, Brno, 1995
  • Anděl, J.: Statistické metody. Matfyzpress, MFF UK Praha, 1993.
  • Taha, H.A.: Operations research. An Introduction. Fourth Edition, Macmillan Publishing Company, New York 1989.
  • Miller, I., Miller, M.: John E. Freund's Mathematical Statistics. Sixth Edition. Prentice Hall, Inc., New Jersey 1999. Předchozí vydání publikováno pod názvem Freund, J.E.: Mathematical Statistics, Fifth Edition.
  • Montgomery, D.C., Runger, G.C.: Applied Statistics and Probability for Engineers. Third Edition. John Wiley & Sons, Inc., New York 2003.
  • Loftus, J., Loftus, E.: Essence of Statistics. Second Edition, A. A. Knopf, New York, 1988
  • Baštinec, J.: Statistika, stochastické procesy, operační výzkum. Brno 2017
  • Baštinec, J.: Statistika, stochastické procesy, operační výzkum. Sbírka příkladů. Brno 2017
  • Papoulis, A., Pillai, S. U.:   Probability, Random Variables and Stochastic Processes,  4th Edition, 2012. ISBN-13: 978-0071226615
  • Nagy, I.:  Základy bayesovského odhadování a řízení, ČVUT, Praha, 2003
  • Sarma, R. D.:Basic Applied Mathematics for the Physical Sciences 3rd New edition Edition, 2017, ISBN-13: 978-8131787823

Osnova přednášek

  1. Klasická a axiomatická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, úplná pravděpodobnost., náhodná veličina,  číselné charakteristiky.
  2. Diskrétní a spojitá rozdělení náhodných veličin. Vlastnosti normálního rozdělení. Limitní věty.
  3. Statistika. Výběr. Zpracování  statistického materiálu. Základná parametry základního souboru a charakteristiky výběru.
  4. Základní bodové a intervalové odhady.  Testy dobré shody. Analýza rozptylu.
  5. Operační výzkum. Lineární programování. Grafické řešení. Simplexová metoda. 
  6. Duální úloha. Analýza citlivosti. Ekonomická interpretace lineárního programování.
  7. Nelineární programování.
  8. Řešení úloh nelineárního programování.
  9. Náhodné procesy,  základní pojmy, charakteristiky náhodných procesů. 
  10. Diskrétní Markovovy řetězce.  Homogenní Markovovy řetězce, klasifikace stavů. Regulární Markovovy řetězce, limitní vektor, fundamentální matice, střední doba prvého přechodu. 
  11. Absorpční řetězce, střední doba průchodu, přechodu a setrvání.  Analýza Markovových řetězců pomocí Z-transformace. Výpočet mocniny matice přechodu.
  12. Spojité Markovovy řetězce. Klasifikace pomocí Laplaceovy transformace. Poissonův proces. Lineární proces růstu, lineární proces zániku , lineární proces růstu a zániku.
  13. Markovské rozhodovací procesy.  Ocenění přechodů. Asymptotické vlastnosti. Rozhodovací procesy s alternativami. Skryté Markovské procesy.

Kontrolovaná výuka

Výuka není povinná.

Studenti mohou získat až 100 bodů za semestrální zkoušku, která má část písemnou a část ústní.  Zadání pro písemnou část zkoušky obsahuje teoretické i početní úlohy, které slouží pro ověření orientace studenta ve statistice, operačním výzkumu a náhodných procesech. Přičemž početní úkoly slouží k ověření schopností studenta aplikovat jednotlivé metody v technické a ekonomické praxi. 

Rozvrh

DenTypTýdnyMístn.OdDoPSKSkupInfo
Útcvičenívýuky T8/302 12:0014:50 1DVI xx seminář, Baštinec

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program VTI-DR-4, obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
Nahoru