Detail předmětu

Vysoce náročné výpočty

VND Ak. rok 2020/2021 letní semestr

Předmět je zaměřen na praktické metody řešení náročných vědecko-technických výpočtů. Provádí se rozbor numerického řešení soustav diferenciálních rovnic a hodnotí se paralelní spolupráce mikroprocesorů na principu diferenciálního počtu. Důraz je kladen na pochopení problematiky metod proměnného řádu a kroku (hp-metody). Pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic se používá originální metoda založená na přímém využití Taylorovy řady. K dispozici je simulační jazyk TKSL (FOS) s rovnicovým zápisem zadaného problému.
Uvádí se těsná souvislost rovnicového a blokového zápisu a analyzuje se blokové schéma jako datový vstup. Uvádí se numerické výpočty se zaměřením na následující technické problémy: řešení rozsáhlých soustav diferenciálních rovnic, řešení rozsáhlých soustav algebraických rovnic, řešení parciálních diferenciálních rovnic, stiff systémy, úlohy z regulace, elektrická simulace VLSI obvodů, modelování mechanických soustav, elektrostatické a elektromagnetické pole. Součástí předmětu je analýza paralelních algoritmů a návrh specializovaných architektur pro numerické řešení diferenciálních rovnic. Většina technických úloh vede na maticový zápis. Jednotlivé technické problémy budou rovněž řešeny v prostředí MATLAB/Simulink.

Okruhy otázek k SDZ

  1. Analytické řešení diferenciálních rovnic.
  2. Numerické řešení diferenciálních rovnic.
  3. Extrémně přesné řešení diferenciálních rovnic metodou Taylorovy řady, knihovní podprogramy přesných výpočtů.
  4. Paralelní vlastnosti metody Taylorovy řady, základy programování specializovaných paralelních úloh s využitím diferenciálního počtu (těsná souvislost rovnicového a blokového zápisu).
  5. Adjungované diferenciální operátory a paralelní řešení diferenciálních rovnic s časově proměnnými koeficienty.
  6. Metodika řešení rozsáhlých soustav algebraických rovnic převodem na obyčejné diferenciální rovnice.
  7. Fourierova řada a určité integrály.
  8. Simulace elektrických obvodů.
  9. Řešení praktických problémů popsaných parciálními diferenciálními rovnicemi.
  10. Koncepce elementárního procesoru specializovaného paralelního výpočetního systému.


Garant předmětu

Zástupce garanta předmětu

Jazyk výuky

český

Zakončení

zkouška (písemná)

Rozsah

39 hod. přednášky, 26 hod. pc laboratoře

Bodové hodnocení

60 zkouška, 20 půlsemestrální test, 20 laboratoře

Zajišťuje ústav

Přednášející

Cvičící

Získané dovednosti, znalosti a kompetence z předmětu

Schopnost analýzy vybraných metod numerického řešení diferenciálních rovnic pro extrémně přesné a rychlé řešení vědecko-technických úloh.

Dovednosti, znalosti a kompetence obecné

  • Samostatné řešení netriviální soustavy diferenciálních rovnic.

Cíle předmětu

Získat přehled a základy praktického využití vybraných metod numerického řešení diferenciálních rovnic pro extrémně přesné a rychlé řešení náročných vědecko-technických výpočtů.

Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti

Numerická matematika

Literatura studijní

  • Zdrojové programy (TKSL, MATLAB, Simulink) jednotlivých počítačových cvičení

Literatura referenční

  • Kunovský, J.: Modern Taylor Series Method, habilitation thesis, VUT Brno, 1995
  • Hairer, E., Norsett, S. P., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations I, vol. Nonstiff Problems. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1987.
  • Hairer, E., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations II, vol. Stiff And Differential-Algebraic Problems. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1996.
  • Butcher, J. C.: Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, 3rd Edition, Wiley, 2016.
  • Shampine, L. F.: Numerical Solution of ordinary differential equations, Chapman and Hall/CRC, 1994
  • Strang, G.: Introduction to applied mathematics, Wellesley-Cambridge Press, 1986
  • Meurant, G.: Computer Solution of Large Linear System, North Holland, 1999
  • Saad, Y.: Iterative methods for sparse linear systems, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003
  • Burden, R. L.: Numerical analysis,  Cengage Learning, 2015
  • LeVeque, R. J.: Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-dependent Problems (Classics in Applied Mathematics), 2007
  • Strikwerda, J. C.: Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations,  Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004
  • Golub, G. H.: Matrix computations, Hopkins Uni. Press, 2013
  • Duff, I. S.: Direct Methods for Sparse Matrices (Numerical Mathematics and Scientific Computation), Oxford University Press, 2017
  • Corliss, G. F.: Automatic differentiation of algorithms, Springer-Verlag New York Inc., 2002
  • Griewank, A.: Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2008
  • Press, W. H.: Numerical recipes : the art of scientific computing, Cambridge University Press, 2007
  • Brdička M., Samek L., Sopko B.: Mechanika kontinua, Academia, 2005
  • Vavřín, P.: Teorie automatického řízení I (Lineární spojité a diskrétní systémy). VUT, Brno, 1991.
  • Vitásek,E.: Základy teorie numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic. Academia, Praha, 1994.
  • Šebesta, V.: Systémy, procesy a signály I. VUTIUM, Brno, 2001.

Osnova přednášek

  • Metodika sériového a paralelního výpočtu (zpětnovazební stabilita paralelních výpočtů)
  • Extrémně přesné řešení diferenciálních rovnic metodou Taylorovy řady
  • Paralelní vlastnosti metody Taylorovy řady
  • Základy programování specializovaných paralelních úloh s využitím diferenciálního počtu (těsná souvislost rovnicového a blokového zápisu)
  • Paralelní řešení obyčejných diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty
  • Adjungované diferenciální operátory a paralelní řešení diferenciálních rovnic s časově proměnnými koeficienty
  • Metodika řešení rozsáhlých soustav algebraických rovnic převodem na obyčejné diferenciální rovnice
  • Paralelní aplikace Bairstowovy metody při hledání kořenů algebraických rovnic vysokých stupňů
  • Fourierova řada a určité integrály
  • Simulace elektrických obvodů
  • Řešení praktických problémů popsaných parciálními diferenciálními rovnicemi
  • Knihovní podprogramy přesných výpočtů
  • Koncepce elementárního procesoru specializovaného paralelního výpočetního systému

Osnova počítačových cvičení

  1. Simulační systém TKSL (FOS), MATLAB, Simulink
  2. Testovací příklady řešení exponenciálních funkcí
  3. Diferenciální rovnice 1. řádu
  4. Diferenciální rovnice 2. řádu
  5. Generování funkcí času
  6. Generování funkcí obecné proměnné
  7. Výpočet určitých integrálů
  8. Soustava lineárních algebraických rovnic
  9. Modelování elektronických obvodů
  10. Laplaceova rovnice
  11. Rovnice vedení tepla
  12. Vlnová rovnice
  13. Regulační obvody

Kontrolovaná výuka

V průběhu semestru budou probíhat bodovaná počítačová cvičení. Libovolné cvičení bude možnost v závěrečných týdnech semestru nahradit.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

  • Program VTI-DR-4, obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
Nahoru