Základní pojmy o signálech

Jan Černocký

                 ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

• klasifikace signálů

• transformace časové osy • energie a výkon

• periodické signály

• harmonický signál

• jednotkový skok a impuls

Signály

• libovolné fyzikální veličiny.

• jedna nebo několik nezávislých proměnných (většinou čas), jedna závislá.

• Příklady: akustický tlak vyvolaný hláskou ’e’, stupně šedi na ČB snímku, síla asfaltu na dálnici D1, kurs Kč vůči EUR.

3

Matematický pohled na signály (1 nezávislá proměnná)

funkce, které převádějí nezávislou proměnnou z množiny T (signálová osa) na hodnoty z množiny A. Podle charakteru množiny T dělíme signály na:

• signály se spojitým časem: t ∈ ℜ, definován všude. Příklad: rychlost autobusu na cestě z Prahy do Brna v závislosti na čase. Budeme značit s(t).

• signály s diskrétním časem: n ∈ Z, pouze celočíselné hodnoty, jinde nedefinováno. Budeme značit s[n], n nemá rozměr. Příklad: můj plat v 12-ti měsících tohoto roku. Jelikož diskrétní signály nejsou nic jiného než řady čísel, budeme je někdy nazývat posloupnosti.

Za množinu A budeme v průběhu tohoto kursu většinou pokládat množinu reálných čísel ℜ, avšak mohou to být i komplexní čísla. Praktické aplikace v IT: vždy konečný počet hodnot (kvantování).

Deterministické a náhodné signály

Deterministické signály můžeme zapsat vztahem, rovnicí, nerovností. Pro každý čas t či n víme, jaké hodnoty signál nabude. Příklad 1: obdélníkový impuls se spojitým časem:

x(t) = \{ \begin{matrix}2 & pro − 2 ≤ t ≤ 2 \\ 0 & jinde \end{matrix}

Příklad 2: diskrétní jednotkový impuls:

δ[n] = \{ \begin{matrix}1 & pro n = 0 \\ 0 & jinde \end{matrix} Náhodné signály popsat rovnicí nemůžeme a pro čas t či n nikdy přesně nevíme, jaká bude jejich hodnota. Můžeme je charakterizovat pouze pomocí parametrů (např. střední hodnota, rozptyl). Více v přednáškách ke konci semestru.

Transformace nezávislé proměnné – změny časové osy

Jak se změní původní signál s(t) či s[n], změníme-li časovou osu? Příklady na signálu se spojitým časem:

Otočení časové osy: s(−t) – všechno je naopak.

Zpoždění signálu: s(t − τ) pro kladné τ – signál se objeví později. Předběhnutí signálu: s(t + τ) pro kladné τ – signál se objeví dříve.

Obrácení časové osy s posunutím

Otočení se zpožděním(!): s(−t + τ) pro kladné τ. Otočení s předběhnutím(!): s(−t − τ) pro kladné τ. V případech s otočenou časovou osou mají znaménka opačný význam.

Kontrola:

• najít si na časové ose změněného signálu několik významných bodů.

• pro každý z nich si vyhodnotit časovou modifikaci.

• podívat se do původního signálu, zda to “sedí”.

Příklad: Nejsme si jisti, zda jsme s(−t + 1) namalovali správně. s(−t + 1) pro t = 0 má hodnotu 1. −0 + 1 = 1, původní signál s(t) v čase 1 má také hodnotu 1 ⇒ OK. s(−t + 1) pro t = 2 má hodnotu 0. −2 + 1 = −1, původní signál s(t) v čase -1 má také hodnotu 0 ⇒ OK.

Příklady na signálu s diskrétním časem – diskrétní jednotkový skok:

11

… Vyzkoušejte si kontrolu!

12

Změna časového měřítka

Kontrakce času: s(mt) pro kladné m > 1 – čas běží rychleji a všechno je kratší. Dilatace času: s(\frac{t}{m}) pro kladné m > 1 – čas běží pomaleji a všechno je delší. … vyzkoušejte si pomůcku i pro kontrakci/dilataci času!

Energie a výkon

okamžitý výkon na rezistoru můžeme spočítat jako:

p(t) = u(t)i(t) = u^{2}(t)/R = i^{2}(t)R.

Napětí i proud zde vystupují ve druhé mocnině. Při zpracování signálů většinou žádné rezistory nemáme (pokud by nám opravdu chyběl, můžeme si jej představit, s odporem 1Ω), okamžitý výkon bude dán:

p(t) = |s(t)|^{2}

Absolutní hodnota není potřeba pro reálné signály, je ve vzorci pouze pro šílence pracující s komplexními signály. Pro diskrétní signály:

p[n] = |s[n]|^{2}

Zajímá-li nás energie a průměrný výkon signálu v intervalu [t_{1}, t_{2}]:

∫_{t_{1}}^{t_{2}} p(t)dt = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |s(t)|^{2}dt \frac{1}{t_{2} − t_{1}} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} p(t)dt = \frac{1}{t_{2} − t_{1}} ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |s(t)|^{2}dt

podobně pro diskrétní signály:

∑_{n_{1}}^{n_{2}} p[n] = ∑_{n_{1}}^{n_{2}} |s[n]|^{2} \frac{1}{n_{2} − n_{1}} ∑_{n_{1}}^{n_{2}} p[n] = \frac{1}{n_{2} − n_{1}} ∑_{n_{1}}^{n_{2}} |s[n]|^{2}

V mnoha případech nás bude zajímat celková energie v celém rozmezí časů od −∞ do ∞:

E_{∞} = lim_{T →∞} ∫_{−T}^{T} |s(t)|^{2}dt = ∫_{−∞}^{+∞} |s(t)|^{2}dt E_{∞} = lim_{N→∞} ∑_{−∞}^{∞} |s[n]|^{2} = ∑_{−N}^{N} |s[n]|^{2}

Podle hodnoty E_{∞} dělíme signály na signály s konečnou energií a signály s nekonečnou energií. Podobně celkový střední výkon:

P_{∞} = lim_{T →∞} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} |s(t)|^{2}dt P_{∞} = lim_{N→∞} \frac{1}{2N + 1} ∑_{−N}^{N} |s[n]|^{2}

Pokud je P_{∞} nenulový, je E_{∞} = ∞.

Neperiodické a periodické signály

Pro neperiodické signály nemůžeme najít T nebo N takové, že:

s(t + T) = s(t) spojitý čas  (1)
s[n + N] = s(n) diskrétní čas,  (2)

signály se v čase neopakují. Pokud je T či N možné nalézt, hovoříme o periodických signálech. Např. se opakuje po T = 20 s, ale také po T = 40 s, T = 60 s, atd. Nejmenší hodnota T, pro kterou rovnice 1 platí, se nazývá základní perioda T_{1}.

Podobně pro diskrétní signály:

Signál se opakuje po N = 3, ale také po N = 6, N = 9, atd. Nejmenší hodnota N, pro kterou rovnice 2 platí, se nazývá základní perioda N_{1}.

Harmonické signály

jsou nejjednodušeji definovanými periodickými signály a jsou chlebem a solí zpracování signálů, proto jim musíme věnovat náležitou pozornost.

s(t) = C_{1} cos(ω_{1}t + ϕ_{1})  (3)

• C_{1} je kladná konstanta – amplituda (maximální hodnota).

• ω_{1} je kladná konstanta – úhlový nebo kruhový kmitočet [rad/s]. Ke skutečnému kmitočtu f_{1} je vztažen: ω_{1} = 2πf_{1}. Základní perioda harmonického signálu T_{1} = \frac{1}{f_{1}} = \frac{2π}{ω_{1}} .

• ϕ_{1} je počáteční fáze [rad]. Hodnota signálu pro t = 0 je s(0) = C_{1} cos ϕ_{1}.

Ve zpracování signálů pracujeme vždy s radiány! Nezapomeňte si přepnout kalkulačky!

Hodnoty značíme indexem 1, protože později budeme rozkládat obecné periodické signály do harmonických a koeficienty budeme indexovat.

Výkon periodických signálů

U obecných signálů jsme střední výkon počítali:

P_{∞} = lim_{T →∞} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} |s(t)|^{2}dt

V případě periodických lze integrovat pouze přes jednu základní periodu a to jakkoliv:

P_{s} = \frac{1}{T_{1}} ∫_{−T_{1}/2}^{T_{1}/2} |s(t)|^{2}dt = \frac{1}{T_{1}} ∫_{0}^{T_{1}} |s(t)|^{2}dt = …

Velmi používaným údajem, který se odvozuje ze středního výkonu periodického signálu, je efektivní hodnota — velikost stejnosměrného signálu, který by dal na stejné zátěži (kdybychom nějakou měli :-) stejný střední výkon:

C_{ef} = \sqrt{P_{s}}.

Jak je tomu u harmonického signálu (fázi neuvažujeme): s(t) = C_{1} cos(ω_{1}t) ? Používáme vzoreček cos^{2} α = \frac{1+cos 2α}{2}:

P_{s} = \frac{1}{T_{1}} ∫_{0}^{T_{1}}[C_{1} cos(ω_{1}t)]^{2}dt = \frac{1}{T_{1}} ∫_{0}^{T_{1}} C_{1}^{2} \frac{1}{2}(1 + cos 2ω_{1}t)dt

Integrál cosinu je 0 (uvědomte si, že v libovolném množství period funkce cos jsou záporné plochy vyváženy kladnými), takže zbývá:

P_{s} = \frac{1}{T_{1}} ∫_{0}^{T_{1}} C_{1}^{2} \frac{1}{2}dt = \frac{1}{T_{1}} \frac{C_{1}^{2}}{2} T_{1} = \frac{C_{1}^{2}}{2}

Z toho vyplývá známá poučka o efektivní hodnotě harmonického signálu:

C_{ef} = \sqrt{P_{s}} = \frac{C_{1}}{\sqrt{2}},

kterou už jste asi viděli… Pozor! Platí opravdu pouze pro harmonický signál!

Harmonické signály s diskrétním časem

s[n] = C_{1} cos(ω_{1}n + ϕ_{1})  (4)

• C_{1} je kladná konstanta – amplituda.

• ω_{1} je kladná konstanta – úhlový nebo kruhový kmitočet. Jelikož je n bezrozměrné, je zde jednotka ω_{1} pouze [rad].

• ϕ_{1} je počáteční fáze [rad]. Hodnota signálu pro n = 0 je s[0] = C_{1} cos ϕ_{1}.

Příklad: s[n] = 5 cos(2πn/12), ω_{1} = π/6.

Se základní periodou harmonické posloupnosti máme drobný problém. Není možné ji vypočítat podobně jako u signálu se spojitým časem pomocí: N_{1} = \frac{2π}{ω_{1}} , protože by mohlo vyjít necelé číslo. N_{1} jako počet vzorků musí být vždy celý. Musíme najít takové N_{1}, aby platila podmínka periodicity:

cos [ω_{1}(n + N_{1})] = cos ω_{1}n.

Víme, že základní perioda funkce cos je 2π a že podmínka bude splněna pouze pro rozdíl argumentů rovný celočíselnému násobku 2π:

ω_{1}(n + N_{1}) − ω_{1}n = ω_{1}N_{1} = k2π,

kde k je celé číslo takové, aby N_{1} bylo nejmenší možné.

Příklad 1: s[n] = 5 cos(2πn/12), ω_{1} = π/6. \frac{π}{6} N_{1} = k2π, řešení je jednoduché: k = 1, N_{1} = 12 (viz obrázek). Srovnání – kdyby byl signál se spojitým časem, základní perioda by byla: T_{1} = \frac{2π}{π/6} = 12. Výsledek je stejný.

Příklad 2: s[n] = cos(8πn/31), ω_{1} = 8π/31. \frac{8π}{31} N_{1} = k2π, k = \frac{4}{31}N_{1}, 31k = 4N_{1}. Řešením je: k = 4, N_{1} = 31. Srovnání – kdyby byl signál se spojitým časem, základní perioda by byla: T_{1} = \frac{2π}{8π/31} = \frac{31}{4}. Výsledek je jiný — perioda je podstatně kratším protože nemusíme “čekat na celé číslo”.

Příklad 3: s[n] = cos(n/6), ω_{1} = 1/6. \frac{1}{6}N_{1} = k2π, N_{1} = k12π. Řešení neexistuje, signál není periodický (ale vypadá tak :-) Srovnání – kdyby byl signál se spojitým časem, základní perioda by byla: T_{1} = \frac{2π}{1/6} = 12π. Signál je samozřejmě periodický.

Některé velmi zajímavé a užitečné signály – diskrétní

Jednotkový skok a jednotkový impuls: σ[n] = \{ \begin{matrix}1 & pro n ≥ 0 \\ 0 & jinde \end{matrix} δ[n] = \{ \begin{matrix}1 & pro n = 0 \\ 0 & jinde \end{matrix} Všimněme si, že jednotkový impuls vznikl diferencováním jednotkového skoku:

δ[n] = σ[n] − σ[n − 1]

Posunutý jednotkový impuls δ[n − k]:

Některé velmi zajímavé a užitečné signály – spojitý čas

Jednotkový skok: σ(t) = \{ \begin{matrix}1 & pro t ≥ 0 \\ 0 & jinde \end{matrix}

Jednotkový impuls se spojitým časem (Diracův impuls) nadefinujeme jako derivaci jednotkového skoku podle času:

δ(t) = \frac{dσ(t)}{dt}.

Problémem je, že nevíme, jak derivovat funkci σ(t) pro t = 0 (nespojitost). Pomůžeme si malým trikem:

δ_{Δ}(t) = \frac{dσ_{Δ}(t)}{dt}.

σ_{Δ}(t) má mezi 0 a Δ směrnici (a tedy i derivaci) \frac{1}{Δ}. Všimněme si, že plocha obdélníčku ohraničeného funkcí δ_{Δ}(t) (tedy její integrál) je rovna 1. Pak budeme Δ zmenšovat limitně až k nule:

δ(t) = lim_{Δ→0} δ_{Δ}(t).

Plocha jednotkového impulsu je tedy stále jedna, i když jeho hodnota pro t = 0 vzroste na ∞:

∫_{−∞}^{+∞} δ(t)dt = 1.

Tuto plochu nazýváme mocnost a jednotkový impuls ji změní, pokud jej něčím vynásobíme:

Jednotkové impulsy mají tzv. vzorkovací schopnost, ale o té až příště :-)