Základní moudra o komplexních číslech

Jan Černocký

ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Reálná čísla leží na 1-rozměrné reálné (ℜ) ose. Komplexní čísla leží v komplexní rovině a mají 2 složky: reálnou a imaginární. K imaginární složce (ℑ) píšeme i (matematici) nebo j (elektrotechnici a doufám, že také informatici :-) Podivné vlastnosti komplexní jednotky: j = \sqrt{−1}, jj = −1, jjj = −j, jjjj = +1.

Složkový tvar komplexního čísla:

neboli zápis v pravoúhlých souřadnicích:

z = a + jb

Komplexní číslo jako vektor

Komplexní číslo si také můžeme představit jako vektor, který začíná v počátku komplexní roviny a končí v daném komplexním čísle. Polární souřadnice:

• modul, absolutní hodnota nebo magnituda r komplexního čísla je délka tohoto vektoru.

• argument, úhel nebo fáze ϕ komplexního čísla je úhel, který daný vektor svírá se ℜ osou.

Jak spolu a, b a r, ϕ souvisí ?

a = r cos ϕ b = r sin ϕ

komplexní číslo tedy můžeme zapsat jako:

z = r cos ϕ + jr sin ϕ.

Převod pravoúhlé ⇒ polární:

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} ϕ = tan^{−1} \frac{b}{a}.

U posledního vzroce si ovšem dávejme velký pozor! Platí totiž pouze pro 1. kvadrant!

Příklad 1

z = −3 + j4, r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5, ϕ = tan^{−1} \frac{4}{−3} = −0.92

což je špatně!. Správný úhel je ϕ = π − 0.92 = 2.214 rad. Příklad 2

z = −\frac{1}{\sqrt{2}} − j \frac{1}{\sqrt{2}}, r = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}, ϕ = tan^{−1} 1 = \frac{π}{4}

což je také špatně!. Správný úhel je ϕ = \frac{5}{4}π nebo ϕ = −\frac{3}{4}π.

Exponenciální tvar komplexního čísla:

je druhý možný zápis:

z = re^{jϕ} nebo z = r exp jϕ Operace s komplexními čísly:

• komplexní sdružení: z^{⋆} = a − jb = re^{−jϕ}.

• sčítání/odečítání: z_{1} + z_{2} = a_{1} + a_{2} + j(b_{1} + b_{2}).

• násobení/dělení: z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}e^{j(ϕ_{1}+ϕ_{2})}, \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{j(ϕ_{1}−ϕ_{2})}. Nejzajímavější komplexní čísla e^{jϕ} leží na jednotkové kružnici: r = 1.

e^{jϕ} = cos ϕ + j sin ϕ

Pomocí tohoto vzorečku můžeme odvodit mnoho pouček o komplexních číslech a o goniometrických funkcích, nejvýznamnější je:

e^{jϕ} + e^{−jϕ} = cos ϕ + j sin ϕ + cos ϕ − j sin ϕ = 2 cos ϕ

cos ϕ = \frac{e^{jϕ} + e^{−jϕ}}{2} ,

ale i jiné, třeba:

e^{jϕ} − e^{−jϕ} = cos ϕ + j sin ϕ − cos ϕ − (−j sin ϕ) = 2j sin ϕ

sin ϕ = \frac{e^{jϕ} − e^{−jϕ}}{2j}

Funkce e^{jx}

když se x mění:

ℜ(e^{jx}) = cos x ℑ(e^{jx}) = sin x

jsou to “průměty bodu” e^{jx} do ℜ a ℑ osy! Vyjádření cosinusovky

cos x = \frac{e^{jx} + e^{−jx}}{2}

9 10

Obecná cosinusovka bez počáteční fáze

C_{1} cos(ω_{1}t) = \frac{C_{1}}{2} e^{jω_{1}t} + \frac{C_{1}}{2} e^{−jω_{1}t}.

... nebojte se záporné kruhové frekvence −ω_{1}, komplexní exponenciála se prostě točí naopak (šrouby můžou mít také závit naopak :-). Hodnotu \frac{C_{1}}{2} mají obě komplexní exponenciály pro čas t = 0 a pak vždy pro t = kT_{1}.

Obecná cosinusovka i s počáteční fází

C_{1} cos(ω_{1}t + ϕ_{1}) = \frac{C_{1}}{2} e^{j(ω_{1}t+ϕ_{1})} + \frac{C_{1}}{2} e^{−j(ω_{1}t+ϕ_{1})} = \frac{C_{1}}{2} e^{jϕ_{1}}e^{jω_{1}t} + \frac{C_{1}}{2} e^{−jϕ_{1}}e^{−jω_{1}t}

Čísla c_{1} = \frac{C_{1}}{2} e^{jϕ_{1}} a c_{−1} = \frac{C_{1}}{2} e^{−jϕ_{1}} jsou komplexní konstanty (nemění se s časem). Výrazy \frac{C_{1}}{2} e^{j(ω_{1}t+ϕ_{1})} a \frac{C_{1}}{2} e^{−j(ω_{1}t+ϕ_{1})} mají jejich hodnoty pro t = 0 a pak vždy pro t = kT_{1}. Jejich argumenty bychom mohli nazvat “předtočení komplexních exponenciál”.

Příklad:

x(t) = 5 cos(100πt − \frac{π}{4} ) = 2.5e^{−j \frac{π}{4}} e^{j100πt} + 2.5e^{+j \frac{π}{4}} e^{−j100πt}

Koeficienty: c_{1} = 2.5e^{−j \frac{π}{4}} , c_{−1} = 2.5e^{+j \frac{π}{4}} .

13 14