Stochastické procesy

• 26 hod. přednášky
• 13 hod. cvičení

Předmět umožňuje studentům získat základní znalosti o modelovani stochastických procesů (dekompoziční model, ARMA) a způsobech výpočtu odhadu jejich nejrůznějších charakteristik s cílem popsat mechanismus chování procesu na základě pozorování jeho časové řady. Student tak zvládne základní metody pro vyhodnocování reálných dat.

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy teorie stochastických procesů a s používanými modely pro analýzu časových řad i algoritmy odhadu jejich parametrů. Ve cvičení se studenti učí na simulovaných nebo reálných datech prakticky aplikovat teoretické postupy formou projektu pomocí software MATLAB. Výsledkem je projekt vyhodnocení a predikce reálných časových řad.

Základy diferenciálního a integrálního počtu, teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky.

1. Stochastický proces, typy, trajektorie, příklady.
2. Konzistentní systém distribučních funkcí, striktní a slabá stacionarita.
3. Momentové charakteristiky: střední hodnota a autokorelačni funkce.
4. Spektrální hustota (vlastosti).
5. Dekompoziční model (aditivní, multiplikativní), stabilizace rozptylu.
6. Identifikace periodických komponent: periodogram, testy periodicity.
7. Metody separace periodických komponent.
8. Metody odhadu trendu: polynomiální regrese, linearní filtry, splajny.
9. Testy náhodnosti.
10.Nejlepší lineární predikce, Yuleův-Walkerův systém rovnic, chyba predikce.
11.Parciální autokorelační funkce, Durbinův-Levinsonův a inovanční algoritmus.
12.Linearní systémy a konvoluce, kauzalita, stabilita, odezva.
13.ARMA procesy a jejich speciální případy (AR a MA proces).

1. Načítání, ukládání a vizualizace dat, momentové charakteristiky stochastického procesu.
2. Simulace řad s charekteristickými průběhy autokorelační funkce: bílý šum, barevný šum s korelacemi jen na vzdálenost 1, s lineárním trendem a peridickou komponentou.
3. Detekce heteroskedasticity. Transformace stabilizující rozptyl (mocninná, Box-Coxova).
4. Identifikace periodických komponent časové řady, periodogram, testy.
5. Užití lineárního regresního modelu při dekompozici časové řady.
6. Odhad stupně polynomu pro trend a separace periodické složky.
7. Odstranění šumu pomocí lineární filtrace (metoda klouzavých vážených průměrů): návrh optimálních filtrů zachovávajících polynomy do zadaného stupně, Spencerovy 15-ti bodové váhy.
8. Filtrace metodou postupné polynomiální regrese.
9. Filtrace pomocí metody exponenciálního vyrovnávání.
10.Testy náhodnosti.
11.Simulace, identifikace a odhad parametrů modelu ARMA.
12.Testování významnosti (parciálních) korelací.
13.Konzultace k projektům studentů.

Podmínky udělení zkoušky: aktivní účast ve cvičení, prokázání základních dovedností pro praktickou analýzu dat na PC, klasifikace je výsledkem hodnocení průběžných písemných testů, resp. ústní zkoušky, a samostatného projektu analýzy dat.

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.

Účast na cvičení je povinná a o náhradě zameškané výuky rozhoduje učitel cvičení.