Lineární algebra a geometrie

• 26 hod. přednášky
• 13 hod. pc laboratoře

Student získá základní přehled o metodách a užití lineární algebry a geometrie a začne se učit používat matematický "software".

Student se naučí řešit soustavy lineárních rovnic a získá základní znalosti z teorie matic, vektorových prostorů a geometrie, potřebné k pochopení látky v navazujících předmětech. V laboratorním cvičení se student naučí používat software MATLAB k řešení úloh lineární algebry.

Nejsou žádné prerekvizity.

• Matice a maticové operace. Soustavy lineárních rovnic a jejich maticové vyjádření. Úprava matice na redukovaný schodovitý tvar. Gaussova eliminace.
• n-rozměrné reálné vektory a jejich lineární závislost a nezávislost. Hodnost matice, regularita a singularita. Frobeniova věta.
• Homogenní a nehomogenní soustavy a jejich množina řešení. Soustavy s regulární maticí. Invertibilita matic a výpočet inverzní matice.
• Determinanty a jejich vlastnosti. Laplaceův rozvoj, adjungovaná matice a Cramerovo pravidlo. Vektorový součin v R^3.
• Vektorové prostory a jejich podprostory. Báze a dimenze. Matice přechodu mezi bázemi.
• Lineární transformace a její maticová reprezentace v bázi. Jádro lineární transformace. Příklady lineárních trasformací v rovině.
• Skalární součin. Ortogonalizace vektorů a ortonormální báze. Reprezentace skalárního součinu v bázi.
• Kolmý průmět vektoru a prvek nejlepší aproximace s příklady.
• Operace s vektorovými prostory. Průnik, součet a ortogonální doplněk.
• Analytická geometrie přímky a roviny v R^2 a R^3.
• Problém vlastních hodnot. Podobné matice. Převedení symetrické matice na diagonální tvar.
• Kvadratické formy a jejich maticové vyjádření. Definitnost kvadratických forem.
• Kuželosečky a kvadriky. Převedení na diagonální tvar transformací souřadnic. Invarianty kvadrik.

• Matice a maticové operace. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení. Úprava matice na redukovaný schodovitý tvar. Gaussova eliminace. Použití SW Matlab.
• n-rozměrné reálné vektory a zjišťování jejich lineární závislosti a nezávislosti. Hodnost matice, regularita a singularita. Frobeniova věta. Použití SW Matlab.
• Homogenní a nehomogenní soustavy a jejich řešení. Soustavy s regulární maticí. Invertibilita matic a výpočet inverzní matice. Použití SW Matlab.
• Determinanty a jejich vlastnosti. Laplaceův rozvoj, adjungovaná matice a Cramerovo pravidlo. Vektorový součin v R^3. Použití SW Matlab.
• Vektorové prostory a jejich podprostory. Báze a dimenze. Matice přechodu mezi bázemi. Použití SW Matlab.
• Lineární transformace a její maticová reprezentace v bázi. Jádro lineární transformace a jeho výpočet. Použití SW Matlab.
• Skalární součin. Ortogonalizace vektorů a ortonormální báze. Reprezentace skalárního součinu v bázi. Použití SW Matlab k výpočtu.
• Kolmý průmět vektoru a prvek nejlepší aproximace s příklady. Použití SW Matlab.
• Operace s vektorovými prostory. Průnik, součet a ortogonální doplněk. Použití SW Matlab.
• Analytická geometrie přímky a roviny v R^2 a R^3. Použití SW Matlab.
• Problém vlastních hodnot. Podobné matice. Převedení symetrické matice na diagonální tvar. Použití SW Matlab.
• Kvadratické formy a jejich maticové vyjádření. Definitnost kvadratických forem. Použití SW Matlab.
• Kuželosečky a kvadriky. Převedení na diagonální tvar transformací souřadnic. Invarianty kvadrik. Použití SW Matlab.

Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.

Zápočet není ustanoven.

Absolvování počítačových cvičení ve stanoveném rozsahu.