Detail předmětu

Diferenciální rovnice a jejich použití v elektrotechnice

DRE Ak. rok 2005/2006 zimní semestr 5 kreditů

Aktuální akademický rok

Obyčejné a parciální diferenciální rovnice. 1. Obyčejné diferenciální rovnice: Typické vlastnosti řešení diferenciálních rovnic (geometrický význam, pojem počáteční úlohy, jednoznačnost řešení, singulární body). Základní dva typy rovnic (separovatelné a lineární). Struktura řešení lineárních rovnic vyšších řádů a systémů lineárních diferenciálních rovnic. Využití diferenciálních rovnic (elektrotechnické aplikace, rovnice druhého řádu, oscilace, rezonance, tlumení, přechodné jevy). Lineární diferenciální rovnice druhého řádu a speciální funkce. Besselovy funkce a Legendreovy polynomy. Exponenciála matice a její výpočet. Maticové řešení (pomocí exponenciály matice) lineárních systémů s konstantními koeficienty. Vektorový tvar partikulárního řešení (získaný metodou variace konstant). Diskuse a klasifikace řešení rovinného systému rovnic s konstantními koeficienty. 2. Parciální diferenciální rovnice: Metoda řešení některých typů rovnic prvního řádu. Telegrafní rovnice. Geometrická představa řešení. Základní (kanonické) tvary diferenciálních rovnic druhého řádu. Charakteristiky. Řešení některých rovnic druhého řádu pomocí metody separace a Fourierovy metody (Laplaceova rovnice, rovnice vedení tepla). Vlnová rovnice a D'Alembertova metoda jejího řešení. Ilustraci pojmů a metod pomocí moderního matematického software.

Garant předmětu

Diblík Josef, prof. RNDr., DrSc. (MAT)

Jazyk výuky

česky

Zakončení

zkouška

Rozsah

  • 39 hod. přednášky
  • 13 hod. pc laboratoře

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky (UMAT)

Získané dovednosti, znalosti a kompetence z předmětu

Schopnost orientace v základních pojmech a metodách diferenciálních rovnic. Řešení úloh z oblastí, uvedených v anotaci, pomocí aplikace těchto metod. Řešení těchto úloh využitím moderního matematického software.

Cíle předmětu

Diferenciální rovnice jsou páteří mnoha oblastí inženýrských věd. Cílem kursu je vytvořit základní představy o vlastnostech řešení diferenciálních rovnic, vyložit základní techniky a metody jejich řešení. Úkolem kursu je nejenom seznámit s některými přesnými metodami řešení diferenciálních rovnic, ale také ukázat na možnosti získání přibližných informací o vlastnostech řešení. Metody jsou ilustrovány na konkrétních příkladech z elektrotechniky.

Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti

Základy vyšší matematiky.

Literatura studijní

  • Kuben, J., Obyčejné diferenciální rovnice, VA v Brně, katedra matematiky 1998 (skriptum).
  • Greguš, M., Švec, M., Šeda, V., Obyčajné diferenciálne rovnice, ALFA, Bratislava, 1985.
  • Angot, A., Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry, SNTL, SVTL, 1972.
  • Kalas, J., Ráb, M., Obyčejné diferenciální rovnice, Masarykova universita, Brno, 1995.
  • Mayer, D., Úvod do teorie elektrických obvodů, SNTL, ALFA, 1978.
  • Amaranath, T, An Elementary Course in Partial Differential Equations, Narosa Publ. House, 1997.
  • Haberman, R., Elementary Applied Partial Differential Equations, Prentice Hall, Inc., 1998.
  • Evans, G., Blackledge, J., Yardley, P., Analytic Methods for Partial Differential Equations, Springer, Inc., 1999.

Literatura referenční

  • Kuben, J., Obyčejné diferenciální rovnice, VA v Brně, katedra matematiky 1998 (skriptum).
  • Greguš, M., Švec, M., Šeda, V., Obyčajné diferenciálne rovnice, ALFA, Bratislava, 1985.
  • Angot, A., Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry, SNTL, SVTL, 1972.
  • Kalas, J., Ráb, M., Obyčejné diferenciální rovnice, Masarykova universita, Brno, 1995.
  • Mayer, D., Úvod do teorie elektrických obvodů, SNTL, ALFA, 1978.
  • Amaranath, T, An Elementary Course in Partial Differential Equations, Narosa Publ. House, 1997.
  • Haberman, R., Elementary Applied Partial Differential Equations, Prentice Hall, Inc., 1998.
  • Evans, G., Blackledge, J., Yardley, P., Analytic Methods for Partial Differential Equations, Springer, Inc., 1999.

Osnova přednášek

  • Pojem diferenciální rovnice. Jejich klasifikace a geometrický smysl, směrové pole.
  • Existence a jednoznačnost řešení. Ilustrace na příkladech.
  • Rovnice se separovanými proměnnými a lineární rovnice prvního řádu.
  • Rovnice vyšších řádů. Lineární rovnice vyšších řádů s konstantními koeficienty.
  • Variace konstant pro rovnice vyšších řádů.
  • Aplikace rovnic vyšších řádů (kmity, tlumení, přechodné jevy).
  • Lineární rovnice druhého řádu a speciální funkce (Besselova rovnice a Besselovy funkce, Legendreova rovnice a Legendreovy polynomy)
  • Systémy diferenciálních rovnic. Struktura řešení lineárních systémů, variace konstant. Dvourozměrný diferenciální systém. Klasifikace řešení.
  • Exponenciála matice, její výpočet. Řešení lineární systémů s konstantními koeficienty pomocí exponenciály matice.
  • Parciální diferenciální rovnice prvního řádu. Pojem řešení. Telegrafní rovnice.
  • Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Charakteristiky. Kanonické tvary.
  • Řešení některých parciálních diferenciálních rovnice druhého řádu pomocí separace proměnných a Fourierovy metody (Laplaceova rovnice, rovnice vedení tepla).
  • Vlnová rovnice a její řešení metodou D'Alemberta.

Osnova počítačových cvičení

  • Pojem diferenciální rovnice. Jejich klasifikace a geometrický smysl, směrové pole.
  • Existence a jednoznačnost řešení. Ilustrace na příkladech.
  • Rovnice se separovanými proměnnými a lineární rovnice prvního řádu.
  • Rovnice vyšších řádů. Lineární rovnice vyšších řádů s konstantními koeficienty.
  • Variace konstant pro rovnice vyšších řádů.
  • Aplikace rovnic vyšších řádů (kmity, tlumení, přechodné jevy).
  • Lineární rovnice druhého řádu a speciální funkce (Besselova rovnice a Besselovy funkce, Legendreova rovnice a Legendreovy polynomy)
  • Systémy diferenciálních rovnic. Struktura řešení lineárních systémů, variace konstant. Dvourozměrný diferenciální systém. Klasifikace řešení.
  • Exponenciála matice, její výpočet. Řešení lineární systémů s konstantními koeficienty pomocí exponenciály matice.
  • Parciální diferenciální rovnice prvního řádu. Pojem řešení. Telegrafní rovnice.
  • Parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Charakteristiky. Kanonické tvary.
  • Řešení některých parciálních diferenciálních rovnice druhého řádu pomocí separace proměnných a Fourierovy metody (Laplaceova rovnice, rovnice vedení tepla).
  • Vlnová rovnice a její řešení metodou D'Alemberta.

Průběžná kontrola studia

Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.

Aktivita ve počítačových cvičeních je hodnocena v rozmezí 0-15 bodů. Průběžné hodnocení je dále provedeno formou půlsemestrální písemné práce 0-15 bodů. Výsledné hodnocení je souhrnem těchto hodnocení a semestrální písemné práce (0-70 bodů).

Kontrolovaná výuka

Polosemestrální písemná práce. Aktivita na počítačových cvičeních.

Nahoru