Detail předmětu
Matematické struktury v informatice
MAT Ak. rok 2007/2008 zimní semestr 5 kreditů
Formální teorie, predikátová logika, intuicionistická, modální a temporální logika, algebraické struktury s jednou a dvěma binárními operacemi, univerzální algebry, topologické a metrické prostory, Banachovy a Hilbertovy prostory, neorientované grafy, orientované grafy a sítě, základní pojmy z teorie kategorií.
Garant předmětu
Jazyk výuky
Zakončení
Rozsah
- 39 hod. přednášky
- 13 hod. cvičení
Zajišťuje ústav
Získané dovednosti, znalosti a kompetence z předmětu
Studenti prohloubí své znalosti z oblasti matematických struktur využívaných v informatice. To jim pak umožní nejen lépe porozumět teoretickým základům informatiky, ale také se aktivně zapojit do výzkumu v tomto oboru.
Cíle předmětu
Cílem předmětu je prohloubit u studentů znalosti základních matematických struktur, které jsou často využívány v různých oblastech informatiky. Vedle klasických algebraických struktur budou podrobněji vyloženy základy matematické logiky, teorie Banachových a Hilbertových prostorů a teorie grafů. Probrán bude také úvod do teorie kategorií.
Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti
Nejsou žádné prerekvizity.
Literatura studijní
- Birkhoff, G., MacLane, S.: Aplikovaná algebra, Alfa, Bratislava, 1981
- Procházka, L.: Algebra, Academia, Praha, 1990
- Lang, S.: Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, New York - Berlin - Heidelberg, 1990, ISBN 038797279
- Polimeni, A.D., Straight, H.J.: Foundations of Discrete Mathematics, Brooks/Cole Publ. Comp., Pacific Grove, 1990, ISBN 053412402X
- Shoham, Y.: Reasoning about Change, MIT Press, Cambridge, 1988, ISBN 0262192691
- Van der Waerden, B.L.: Algebra I, II, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1971, Algebra I. ISBN 0387406247, Algebra II. ISBN 0387406255
- Nerode, A., Shore, R.A.: Logic for Applications, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0387941290
Literatura referenční
- Mendelson, E.: Introduction to Mathematical Logic, Chapman Hall, 1997, ISBN 0412808307
- Cameron, P.J.: Sets, Logic and Categories, Springer-Verlag, 2000, ISBN 1852330562
- Biggs, N.L.: Discrete Mathematics, Oxford Science Publications, 1999, ISBN 0198534272
Osnova přednášek
- Predikáty, kvantifikátory, termy, formule, jazyk 1. řádu a jeho interpretace, modely formulí.
- Predikátový počet 1. řádu a jeho vlastnosti, věty o úplnosti a kompaktnosti, rozšíření teorie.
- Prenexové normální tvary, skolemizace a Herbrandova věta, základy intuicionistické, modální a temporální logiky.
- Univerzální algebry a jejich typy, podalgebry a homomorfismy, kongruence a faktorové algebry, součiny, termy a volné algebry.
- Parciální a vícedruhové algebry, hyperalgebry, grupoidy, podgrupoidy a homomorfismy, kartézský součin, faktorové a volné grupoidy.
- Pologrupy a volné pologrupy, grupy, podgrupy a homomorfismy, faktorové a cyklické grupy, volné a permutační grupy.
- Okruhy, ideály, homomorfismy, obory integrity a tělesa.
- Konečná tělesa, polynomy a dělitelnost.
- Topologické a metrické prostory, úplnost, normované a Banachovy prostory.
- Unitární a Hilbertovy prostory, ortogonalita, uzavřené ortonormální systémy a Fourierovy řady.
- Stromy a kostry, minimální kostra (Kruskalův a Primův algoritmus), vybarvování uzlů a hran grafu.
- Orientované grafy, orientované eulerovské grafy, sítě, problém kritické cesty (Dijkstraův a Floyd-Warshallův algoritmus), dopravní sítě, toky a řezy.
- Kategorie a konkrétní kategorie, podobjekty, faktorové a volné objekty, součiny a sumy, funktory a přirozené transformace.
Průběžná kontrola studia
Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.
Kontrolovaná výuka
Test během semestru a odevzdání domácí úlohy.