Detail předmětu

Logika

LOG Ak. rok 2009/2010 zimní semestr 5 kreditů

Aktuální akademický rok

V předmětu budou systematicky vyloženy základy výrokové a zejména predikátové logiky. Nejprve budou studenti seznámeni se syntaxí a sémantikou těchto logik, pak budou logiky studovány jako formální teorie s důrazem na problematiku dokazování formulí. Prodiskutovány budou také klasické věty o kompaktnosti a úplnosti. Po probrání převodu formulí na prenexní tvar budou uvedeny některé vlastnosti a modely teorií 1. řádu. Pozornost bude také věnována nerozhodnutelnosti teorií 1. řádu vyplývající ze známých Gödelových vět o neúplnosti. Závěrem předmětu bude pojednáno o některých dalších významných logikách včetně logik 2. řádu, které nacházejí uplatnění v informatice.

Garant předmětu

Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc. (ÚM OAAG)

Jazyk výuky

česky

Zakončení

zkouška

Rozsah

  • 39 hod. přednášky
  • 13 hod. cvičení

Zajišťuje ústav

ÚM-odbor algebry a diskrétní matematiky (ÚM OAAG)

Získané dovednosti, znalosti a kompetence z předmětu

Po absolvování předmětu získají studenti schopnost chápání principů axiomatických matematických teorií i schopnost přesného (formálního) matematického vyjadřování. Naučí se také formálně odvozovat nové formule a dokazovat formule dané. Uvědomí si efektivitu formálního uvažování, ale také jeho hranice.

Studenti se naučí exaktnímu formálnímu myšlení, které jim umožní provádět korektní a efektivní algoritmizaci řešení zadaných problémů. Také získají schopnost ověřovat správnost již vytvořených algoritmizací (verifikace programů).

Cíle předmětu

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními metodami uvažování v matematice. Studenti by si měli osvojit obecné principy formálních (axiomatických) teorií a získat tak schopnost přesného matematického uvažování a vyjadřování. Také by se měli naučit pracovat s některými nejdůležitějšími formálními teoriemi využívanými v informatice.

Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti

Předpokládají se znalosti získané v předmětu Diskrétní matematika z bakalářského stupně studia.

Literatura studijní

  • E. Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Chapman&Hall, 2001
  • A. Nerode, R.A. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag 1993
  • D.M. Gabbay, C.J. Hogger, J.A. Robinson, Handbook of Logic for Artificial Intellogence and Logic Programming, Oxford Univ. Press 1993
  • G. Metakides, A. Nerode, Principles of logic and logic programming, Elsevier, 1996
  • Melvin Fitting, First order logic and automated theorem proving, Springer, 1996
  • Sally Popkorn, First steps in modal logic, Cambridge Univ. Press, 1994
  • A. Sochor, Klasická matematická logika, Karolinum, 2001
  • V. Švejnar, Logika, neúplnost a složitost, Academia, 2002

Literatura referenční

  • E. Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Chapman&Hall, 2001
  • A. Nerode, R.A. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag 1993
  • D.M. Gabbay, C.J. Hogger, J.A. Robinson, Handbook of Logic for Artificial Intelligence and Logic Programming, Oxford Univ. Press 1993
  • G. Metakides, A. Nerode, Principles of logic and logic programming, Elsevier, 1996
  • Melvin Fitting, First order logic and automated theorem proving, Springer, 1996
  • Sally Popkorn, First steps in modal logic, Cambridge Univ. Press, 1994

Osnova přednášek

  1. Základy teorie množin a kardinální aritmetiky
  2. Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky
  3. Formální systém výrokové logiky
  4. Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti
  5. Jazyk predikátové logiky, termy a formule
  6. Sémantika predikátové logiky
  7. Formální systém predikátové logiky 1. řádu
  8. Dokazatelnost v predikátové logice
  9. Věta o úplnosti a o kompaktnosti, prenexní tvar formulí
  10. Teorie 1. řádu a jejich modely
  11. Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti
  12. Teorie 2. řádu (monadická logika, SkS a WSkS)
  13. Některé další logiky (intuicionistická, modální a temporální logika, Presburgerova aritmetika)

Osnova numerických cvičení

  1. Relační systémy a univerzální algebry
  2. Množiny, kardinální čísla a kardinální aritmetika
  3. Výroky, výrokové spojky, pravdivostní tabulky, tautologie a kontradikce
  4. Nezávislost logických spojek, axiomy výrokové logiky
  5. Věta o dedukci a dokazování formulí výrokové logiky
  6. Termy a formule predikátové logiky
  7. Interpretace, splnitelnost a pravdivost
  8. Axiomy a odvozovací pravidla predikátové logiky
  9. Věta o dedukci a dokazování formulí v predikátové logice
  10. Převody formulí na prenexní tvar
  11. Teorie 1. řádu a jejich modely
  12. Monadické logiky SkS a WSkS
  13. Intuicionistická, modální a temporální logika, Presburgerova aritmetika

Průběžná kontrola studia

Hodnocení studia je založeno na bodovacím systému. Pro úspěšné absolvování předmětu je nutno dosáhnout 50 bodů.

Kontrolovaná výuka

Půlsemestrální test.

Zařazení předmětu ve studijních plánech

Nahoru