Detail předmětu
Moderní matematické metody v informatice
MID Ak. rok 2024/2025 zimní semestr
Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny, kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru. Částečně a dobře uspořádané množiny, izotonní zobrazení, ordinály. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta. Svazy a svazové homomorfismy. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. Uzávěrové a topologické prostory a jejich využití v informatice (Scottova, Lawsonova a Khalimského topologie).
Okruhy otázek k SDZ:
- Uspořádané množiny (posety) a monotónní zobrazení.
- Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní.
- Dualita posetů, dolní množiny a dolní zobrazení, podmínky řetězců.
- Symetrický a tranzitivní obal relace, linearizace uspořádání.
- Dobře uspořádaní množiny, ordinální a kardinální čísla, transfinitní indukce.
- Polosvazy, svazy a úplné svazy.
- Průsekové struktury a uzávěrové operátory.
- Spojově a průsekově ireducibilní prvky svazu, podmínky řetězců a úplnost svazů.
- Ideály a filtry, Dedekind-MacNailleovo zúplnění.
- Modulární a distributivní svazy, Booleovy algebry.
Garant předmětu
Koordinátor předmětu
Jazyk výuky
Zakončení
Rozsah
- 26 hod. přednášky
Bodové hodnocení
- 100 bodů závěrečná zkouška
Zajišťuje ústav
Cíle předmětu
Cílem předmětu je seznámit studenty s moderními matematickými metodami využívanými v informatice. Jedná se především o metody založené na teorii uspořádaných množin a svazů, algebře a topologii.
Studenti získají znalosti o moderních matematických metodách využívaných v informatice a budou tak moci tyto medody aplikovat při práci ve svojí vědecké specializaci.
Absolventi budou schopni při své vědecké činnosti v informatice využívat moderních a efektivních matematických metod.
Doporučené prerekvizity
Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti
Základní znalosti teorie množin, matematické logiky a obecné algebry.
Literatura studijní
- G. Grätzer, Lattice Theory, Birkhäuser, 2003
- P.T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982
- N.M. Martin and S. Pollard, Closure Spaces and Logic, Kluwer, 1996
- S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.
- V.K.Garg, Introduction to Lattice Theory with Computer Science Applications, Wiley, 2015
- T. Y. Kong, Digital topology; in L. S. Davis (ed.), Foundations of Image Understanding, pp. 73-93. Kluwer, 2001
Osnova přednášek
- Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny.
- Kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru.
- Částečně a dobře uspořádané množiny, monotonní zobrazení, ordinály.
- Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta.
- Svazy a svazové homomorfismy.
- Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace
- Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice
- Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén.
- Uzávěrové operátory, jejich základní vlastnosti a aplikace v logice.
- Základy topologie: topologické prostory a spojitá zobrazení, oddělovací axiomy.
- Souvislost a kompaktnost v topologických prostorech.
- Speciální topologie v informatice: Scottova a Lawsonova topologie.
- Digitální topologie, Khalimského topologie.
Průběžná kontrola studia
Testy během semestru
Předmět je hodnocen na základě výsledku závěrečné zkoušky, ke složení zkoušky je třeba získat nejméně 50 z celkového počtu 100 bodů.
Zařazení předmětu ve studijních plánech
- Program DIT, libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program DIT, libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program DIT-EN (anglicky), libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program DIT-EN (anglicky), libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program VTI-DR-4, obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
- Program VTI-DR-4, obor DVI4, libovolný ročník, volitelný
- Program VTI-DR-4 (anglicky), obor DVI4, libovolný ročník, volitelný