Detail předmětu
Matematická logika
MLD Ak. rok 2026/2027 letní semestr
V předmětu budou systematicky vyloženy základy výrokové a zejména predikátové logiky. Nejprve budou studenti seznámeni se syntaxí a sémantikou těchto logik, pak budou logiky studovány jako formální teorie s důrazem na problematiku dokazování formulí. Prodiskutovány budou také klasické věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti. Po probrání převodu formulí na prenexní tvar budou uvedeny některé vlastnosti a modely teorií 1. řádu. Pozornost bude také věnována nerozhodnutelnosti teorií 1. řádu vyplývající ze známých Gödelových vět o neúplnosti. Závěrem předmětu bude pojednáno o některých dalších významných logikách, které nacházejí uplatnění v informatice.
Okruhy otázek k SDZ:
- Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky.
- Formální systém výrokové logiky.
- Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti.
- Jazyk predikátové logiky, termy a formule.
- Sémantika predikátové logiky.
- Formální systém predikátové logiky 1. řádu.
- Dokazatelnost v predikátové logice, prenexní tvary formulí.
- Teorie 1. řádu a jejich modely.
- Věty o úplnosti a o kompaktnosti.
- Nerozhodnutelnost teorií 1. řádu, Gödelovy věty o neúplnosti.
Garant předmětu
Koordinátor předmětu
Jazyk výuky
Zakončení
Rozsah
- 26 hod. přednášky
Bodové hodnocení
- 100 bodů závěrečná zkouška
Zajišťuje ústav
Cíle předmětu
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními metodami uvažování v matematice. Studenti by si měli osvojit obecné principy predikátové logiky a získat tak schopnost přesného matematického uvažování a vyjadřování. Také by se měli naučit pracovat s některými dalšími důležitými formálními teoriemi využívanými v informatice.
Studenti se naučí exaktnímu formálnímu myšlení, které jim umožní provádět korektní a efektivní algoritmizaci řešení zadaných problémů. Také získají schopnost ověřovat správnost již vytvořených algoritmizací (verifikace programů).
Studenti se naučí exaktnímu formálnímu myšlení, které jim umožní provádět korektní a efektivní algoritmizaci řešení zadaných problémů. Také získají schopnost ověřovat správnost již vytvořených algoritmizací (verifikace programů).
Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti
Předpokládají se znalosti získané v předmětech Diskrétní matematika v bakalářském stupni studia a Matematické struktury v informatice v magisterském stupni studia.
Literatura studijní
- D.M. Gabbay, C.J. Hogger, J.A. Robinson, Handbook of Logic for Artificial Intellogence and Logic Programming, Oxford Univ. Press 1993
- A. Sochor, Klasická matematická logika, Karolinum, 2001
- V. Švejnar, Logika, neúplnost a složitost, Academia, 2002
- G. Metakides, A. Nerode, Principles of logic and logic programming, Elsevier, 1996
- Melvin Fitting, First order logic and automated theorem proving, Springer, 1996
Osnova přednášek
- Základy teorie množin a kardinální aritmetiky
- Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky
- Formální systém výrokové logiky
- Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti
- Jazyk predikátové logiky, termy a formule
- Sémantika predikátové logiky
- Formální systém predikátové logiky 1. řádu
- Dokazatelnost v predikátové logice
- Věta o úplnosti a o kompaktnosti, prenexní tvar formulí
- Teorie 1. řádu a jejich modely
- Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti
- Teorie 2. řádu (monadická logika, SkS a WSkS)
- Některé další logiky (intuicionistická, modální a temporální logika, Presburgerova aritmetika)
Průběžná kontrola studia
Předmět je hodnocen na základě výsledku závěrečné zkoušky, ke složení zkoušky je třeba získat nejméně 50 z celkového počtu 100 bodů.
Zařazení předmětu ve studijních plánech
- Program DIT, libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program DIT, libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program DIT-EN (anglicky), libovolný ročník, povinně volitelný skupina T
- Program DIT-EN (anglicky), libovolný ročník, povinně volitelný skupina T