Matematika 2

• 39 hod. přednášky
• 26 hod. cvičení

Cílem předmětu je seznámit studenty se základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných a s některými obecnými metodami řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Dalším cílem je naučit studenty vhodně používat známe matematické transformace (Laplaceovou, Fourierovou a Z-transformaci) a tím jim dát návod k alternatívnímu způsobu řešení diferenciálních a diferenčních rovnic hojně využívaného právě v technických oborech. Osvojením si základů komplexní analýzy (zejména základních metod integrace v komplexním oboru) získá student dobrý nástroj při řešení některých konkrétních úloh v elektrotechnice. Studenti by po absolvování předmětu měli znát základní pojmy a odpovídající souvislosti, dále pak:

- umět najít a znázornit definiční obor funkce dvou proměnných;
- spočítat parciální derivace libovolného řádu u libovolné (i implicitně zadané) funkce více proměnných;
- najít tečnou rovinu k ploše zadané pomocí funkce dvou proměnných;
- řešit separované a lineární diferenciální rovnice prvního řádu;
- vyřešit klasickým způsobem diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany;
- rozložit komplexní funkci na reálnou a imaginární složku a určit funkční hodnoty komplexních funkcí;
- najít druhou složku komplexní holomorfní funkce a určit tuto funkci v komplexní proměnné včetně její derivace;
- spočítat integrál z komplexní funkce přes křivku pomocí parametrizace křivky, Cauchyho věty nebo Cauchyho vzorce;
- umět najít singulární body komplexní funkce a spočítat jejich rezidua;
- spočítat integrál z komplexní funkce pomocí reziduové věty;
- vyřešit pomocí Laplaceovy transformace diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty;
- najít Fourierovu řadu periodické funkce;
- vyřešit pomocí Z-transformace diferenční rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty

Jsou požadovány znalosti na úrovni středoškolského studia a předmětu Matematika 1. K dobrému zvládnutí látky předmětu je zapotřebí umět určovat definiční obory běžných funkcí jedné proměnné, pochopení pojmu limity funkce jedné proměnné, číselné posloupnosti a její limity a řešit konkrétní standardní úlohy. Dále je nutná znalost pravidel pro derivování reálných funkcí jedné proměnné, znalost základních postupů a metod integrování (rozklad na parciální zlomky, integrace per partes, metoda substituce) u neurčitého i určitého integrálu a tyto umět aplikovat na úlohy v rozsahu skript předmětu Matematika 1. Rovněž je požadována znalost nekonečných číselných řad a základních kriterií jejich konvergence, tak i mocninných řad a hledání oborů jejich konvergence.

• Svoboda, Z., Vítovec, J.: Matematika 2, FEKT VUT v Brně, 2014, s. 1-189.
• Kolářová, E.: Matematika 2, Sbírka úloh, FEKT VUT v Brně, 2009, s. 1-83.

1. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Definiční obor, limita, spojitost, parciální a směrové derivace, gradient, diferenciál, tečná rovina, funkce zadaná implicitně.

2. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy, existence a jednoznačnost řešení, geometrická interpretace rovnice, rovnice se separovanými proměnnými a lineární rovnice.

3. Obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu. Základní pojmy, lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty včetně speciální pravé strany.

4. Úvod do komplexní analýzy. Komplexní čísla a základní operace v komplexním oboru, důležité množiny komplexní roviny.

5. Komplexní funkce, její limita, spojitost a derivace. Speciální případy komplexních funkcí, algebraický rozklad funkce, elementární komplexní funkce, holomorfní funkce, Cauchy-Riemanovy podmínky, L'Hospitalovo pravidlo.

6. Integrální počet v komplexním oboru - I. část. Křivka v komplexní rovině, parametrizace známých křivek, integrál komplexní funkce po křivce, výpočet integrálu po křivce parametrizací křivky.

7. Integrální počet v komplexním oboru - II. část. Výpočet integrálu pomocí Cauchyho věty a Cauchyho vzorců.

8. Integrální počet v komplexním oboru - III. část. Laurentova řada, singulární body a jejich klasifikace, pojem rezidua a výpočet integrálu pomocí reziduové věty.

9. Přímá a zpětná Laplaceova transformace. Vlastnosti transformace, využití Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic.

10. Signály a impulsy, speciální a zobecněné funkce. Konečné a Diracovy impulsy, Heavisideova funkce, jehlová funkce, zobecněná derivace, hledání Laplaceovvých obrazů jednoduchých signálů s konečnými impulsy.

11. Fourierovy řady periodických funkcí. Periodické funkce, nekonečný ortogonální systém funkcí, Fourierovy řady pro funkce se speciální i obecnou periodou, Fourierovy řady v komplexním tvaru.

12. Přímá a zpětná Fourierova transformace. Vlastnosti transformace, hledání Fourierových obrazů některých speciálních funkcí (signálů), využití Fourierovy transformace při řešení diferenciálních rovnic. 

13. Přímá a zpětná Z-transformace. Vlastnosti transformace, diferenční rovnice a využití Z-transformace při řešení diferenčních rovnic.

Kopíruje osnovu cvičení odborného základu (tj. numerických cvičení).

Maximum 30 bodů za semestr za tři písemné testy. Podmínkou udělení zápočtu je zisk alespoň 10 bodů v součtu z těchto tří písemných testů.

Podmínkou udělení zkoušky je zisk alespoň 50 bodů z celkových 100 možných (30 lze získat za práci v semestru, 70 lze získat u závěrečné písemné zkoušky).
Cvičení odborného základu (tj. numerická cvičení) a cvičení s počítačovou podporou jsou povinná. Každou neúčast je nutné řádně omluvit a probranou látku dostudovat. Během semestru se píší tři písemné testy o celkovém počtu 30 bodů.  Podmínkou udělení zápočtu je zisk alespoň 10 bodů v součtu z těchto tří písemných testů.